Routation

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The shape of the spring is a curve y x. The spring is in equilibrium when the energy associated with this curve is at a critical point an extremum ; this critical point is typically a minimum, so this idea is usually called "the principle of least energy".

To compute the energy we integrate the energy spatial density over space,. The corresponding dynamics problem is that of a rock thrown upwards.

The path the rock follows is that which extremalizes the action ; as before, this extremum is typically a minimum, so this is called the " principle of least action ".

Action is the time integral of the Lagrangian ,. We get the solution to the dynamics problem up to a factor of i from the statics problem by Wick rotation, replacing y x by y it and the spring constant k by the mass of the rock m :.

Taken together, the previous two examples show how the path integral formulation of quantum mechanics is related to statistical mechanics.

From statistical mechanics, the shape of each spring in a collection at temperature T will deviate from the least-energy shape due to thermal fluctuations; the probability of finding a spring with a given shape decreases exponentially with the energy difference from the least-energy shape.

Similarly, a quantum particle moving in a potential can be described by a superposition of paths, each with a phase exp iS : the thermal variations in the shape across the collection have turned into quantum uncertainty in the path of the quantum particle.

The Schrödinger equation and the heat equation are also related by Wick rotation. However, there is a slight difference.

Statistical mechanics n -point functions satisfy positivity whereas Wick-rotated quantum field theories satisfy reflection positivity.

Note, however, that the Wick rotation cannot be viewed as a rotation on a complex vector space that is equipped with the conventional norm and metric induced by the inner product , as in this case the rotation would cancel out and have no effect.

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